Математики со всего мира 57 лет трудились над задачей, которую нижегородцы Иван Ремизов и Олег Галкин разрешили, применив знания из области психологии.
Если кратко: впервые удалось выяснить, с какой скоростью в теореме американского математика Пола Чернова приближенные значения будут сходиться к точному результату в зависимости от выбранных параметров. Как наглядно объяснить сказанное? Какое практическое значение имеет решение такой задачи?
Простые примеры: как быстро остывает чашка кофе, как тепло распространяется в двигателе или как ведет себя квантовая частица? Математическую модель этих и многих других физических процессов можно создать, зная решение этой задачи. Не случайно ее решение искали более полувека.
Рассказывая о своем достижения, математик Иван Ремизов сначала изложил предысторию вопроса. «Ученым с начала 1930-х было известно, что для вычисления точных значений, например, в начинавшей тогда развиваться квантовой физике, необходимы вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов, — говорит Иван Ремизов. — Полугруппа операторов — это сложные конструкции, описывающие эволюцию многочастичных систем. Если мы для системы знаем полугруппу, то можем для каждого начального состояния системы предсказать все будущие ее состояния. Образно говоря, полугруппа системы — это ее судьба: у каждой системы ровно одна полугруппа, и она указывает, что произойдет с системой от текущего момента и до конца ее существования. Также можно считать, что полугруппа операторов — это обобщение школьного понятия “экспонента” на случай бесконечной размерности».
Если исследователь сталкивается со сложными системами, которые описываются так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления полугрупп перестают быть эффективными. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил решение этой проблемы. В основе метода — последовательные приближения, когда с каждым шагом результат становится более точным. Но сколько времени потребуется для получения точного результата, оставалось неизвестным.
Нижегородские математики нашли ответ, о чем и сделали доклад 5 июля на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Результаты совместной работы двух математиков были опубликованы в журнале Israel Journal of Mathematics.
«Мы с Олегом Галкиным нашли важные условия, а именно, что нужно у функции Чернова, условно, попросить, чтобы она показывала хорошую скорость приближения. Таким образом, мы создали теорему, которую можно считать “усилением” теоремы Чернова», — рассказал Иван Ремизов.
Это теоретическая работа, применение которой в будущем можно будет найти везде, где требуются полугруппы операторов. Если вернуться к образу остывающего кофе, то метод позволяет предсказать будущее всех температурных профилей: какая будет температура кофе через минуту, через час, через день. При этом чашка может быть нагрета неравномерно, может присутствовать внешний подогрев или охлаждение. Если полугруппа известна, то по любому начальному распределению температур можно узнать будущие распределения путем расчетов, а не ожидания и наблюдения, объясняет нижегородский математик.
Кстати, решение помогла найти вторая специальность Ивана Ремизова — практикующий психолог-психотерапевт. Он понял, что очень умные и квалифицированные люди искали слишком сложные пути, поэтому и не могли достичь результата так долго. Они просто не могли допустить, что решение можно найти гораздо проще.
«Поэтому я начал решать задачу простым путем и продвинулся. А потом попросил Олега Галкина помочь, и мы вместе доказали теорему. Ключевой момент доказательства — простая алгебраическая формула для выражения X^n-Y^n, которую я называю разложением Галкина, подробнее можно посмотреть в нашей научной статье».
Фото: hi-tech.mail.ru