Математики со всего мира 57 лет работали над задачей, которую решили нижегородцы Иван Ремизов и Олег Галкин, применив знания психологии.
Если кратко: впервые удалось выяснить, с какой скоростью в теореме американского математика Пола Чернова приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров. Как наглядно объяснить сказанное? Какое практическое значение имеет решение этой задачи?
Простые примеры: как быстро остывает чашка кофе, как распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица? Математическую модель этих и многих других физических процессов можно разработать, зная решение этой задачи. Не зря ее искали более полувека.
Рассказывая о своем достижении, математик Иван Ремизов сначала изложил предысторию вопроса. «Ученым с начала 1930-х годов было известно, что для вычисления точных значений, например, в развивавшейся тогда квантовой физике, необходимы вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов, — говорит Иван Ремизов. — Полугруппа операторов — это сложные структуры, описывающие эволюцию многочастичных систем. Если мы знаем полугруппу для системы, то можем предсказать все будущие состояния системы для каждого начального состояния. Образно говоря, полугруппа системы — это ее судьба: у каждой системы есть ровно одна полугруппа, которая указывает, что произойдет с системой от текущего момента и до конца ее существования. Также справедливо считать, что полугруппа операторов — это обобщение школьного понятия «экспонента» на случай бесконечной размерности».
Когда исследователь сталкивается со сложными системами, которые описываются так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления полугрупп перестают действовать. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил решение этой проблемы. В основе метода — последовательные приближения, когда с каждым шагом результат становится более точным. Однако скорость, с которой такое пошаговое приближение дает точный ответ, оставалась неясной.
Нижегородские математики нашли ответ, о чем и сделали доклад 5 июля на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Результаты совместной работы двух математиков были опубликованы в журнале Israel Journal of Mathematics.
«Мы с Олегом Галкиным нашли важные условия, — а именно, что нужно у функции Чернова, условно, попросить, чтобы она показывала хорошую скорость приближения. Таким образом, мы создали теорему, которую можно считать “усилением” теоремы Чернова», — рассказал Иван Ремизов.
Это теоретическая работа, применение которой в будущем можно будет найти везде, где требуются полугруппы операторов. Если вернуться к образу остывающего кофе, то метод позволяет предсказать температуру всех профилей: какая будет температура кофе через минуту, через час, через день. При этом чашка может быть нагрета неравномерно, может присутствовать внешний подогрев или охлаждение. Если полугруппа известна, то по любому начальному распределению температур можно узнать будущие распределения путем расчетов, а не ожидания и наблюдения, объясняет нижегородский математик.
Кстати, решение помогла найти вторая специальность Ивана Ремизова — практикующий психолог-психотерапевт. Он понял, что очень умные и квалифицированные люди искали слишком сложные пути, и именно поэтому не могли достичь результата так долго. Они просто не могли допустить, что решение можно найти гораздо проще.
«Поэтому я начал решать задачу простым путем и продвинулся. А потом попросил Олега Галкина помочь, и мы вместе доказали теорему. Ключевой момент доказательства — простая алгебраическая формула для выражения X^n-Y^n, которую я называю разложением Галкина, подробнее можно посмотреть в нашей научной статье».
Фото: hi-tech.mail.ru